1.工程数值方法的数值MATLAB程序编写
2.请问这个积分在matlab里用数值积分的方法应该如何做？
3.数值积分是什么
4.GSLC语言
5.数值计算-数值积分

工程数值方法的MATLAB程序编写

       数值积分法是求定积分的近似值的数值方法。即用被积函数的积分积分有限个抽样值的离散或加权平均近似值代替定积分的值。

       求某函数的码下码定积分时，在多数情况下，载求被积函数的数值原函数很难用初等函数表达出来，另外，积分积分源码软著许多实际问题中的码下码被积函数往往是列表函数或其他形式的非连续函数，对这类函数的载求定积分，也不能用不定积分方法求解。数值对微积分学作出杰出贡献的积分积分数学大师，如I.牛顿、码下码L.欧拉、载求C.F.高斯、数值拉格朗日等人都在数值积分这个领域作出了各自的积分积分贡献，并奠定了这个分支的码下码理论基础。

       数值积分法也是计算机仿真中常用的一种方法。在已知函数的微分方程时，求解函数下一时刻的值，我们主要有欧拉法、梯形法和龙格库塔法。

       欧拉法，这些方法中精度最低的，程序相对简单。欧拉法的表达式可以写成下面的形式：

              

       我们用欧拉法近似替代则有：

       y'=f(t,y)

       其中y’(k) 函数y(x)在k时刻的导数，h为积分的Wwise源码步长(也可以说是采样周期)。

       欧拉法的主要思想是用当前时刻的值y(k)  + 当前时刻  y’(k)*h（积分步长）来近似替代y(k+1)时刻的值。这种方法主要的误差来源于，在h区间内y’(t)是变化的，而这里我们都用y(k)替代了。

       梯形法，是在欧拉法的基础上进行改进的算法，也称为改进的欧拉法。

       在用欧拉法求出y(k+1)之后，我们再求出y(k+1)处的导数f (k+1,y(k+1) )。再用求梯形面积的方法求解这个积分的大小，得到上面的公式。

       龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法，用于数值求解微分方程。由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂。这里主要介绍工程中常用的四阶龙格-库塔法。

       该算法是构建在数学支持的基础之上的。对于一阶精度的拉格朗日中值定理有：

       对于微分方程：     

       y'=f(x,y)

       y(i+1)=y(i)+h*K1

       K1=f(xi,yi)

       当用点xi处的斜率近似值K1与右端点xi+1处的斜率K2的算术平均值作为平均斜率K*的近似值，那么就会得到二阶精度的改进拉格朗日中值定理：

       y(i+1)=y(i)+[h*( K1+ K2)/2]

       K1=f(xi,yi)

       K2=f(x(i)+h,y(i)+h*K1)

       依次类推，如果在区间[xi,xi+1]内多预估几个点上的斜率值K1、K2、……Km，并用他们的anbox源码加权平均数作为平均斜率K*的近似值，显然能构造出具有很高精度的高阶计算公式。经数学推导、求解，可以得出四阶龙格－库塔公式，也就是在工程中应用广泛的经典龙格－库塔算法：

       y(i+1)=y(i)+h*( K1+ 2*K2 +2*K3+ K4)/6

       K1=f(x(i),y(i))

       K2=f(x(i)+h/2,y(i)+h*K1/2)

       K3=f(x(i)+h/2,y(i)+h*K2/2)

       K4=f(x(i)+h,y(i)+h*K3)

       k1是时间段开始时的斜率；

       k2是时间段中点的斜率，通过欧拉法采用斜率k1来决定y在点tn + h/2的值；

       k3也是中点的斜率，但是这次采用斜率k2决定y值；

       k4是时间段终点的斜率，其y值用k3决定。

       上面三种方法，龙格-库塔法精度最高，改进的梯形法次之，欧拉法精度最低。对于精度，我们引入截断误差的概念。

       所谓截断误差就是，近似解和它真值之间的差值。数值积分对的真值做泰勒展开。而欧拉法在数值积分时，取的是泰勒级数的第一项，梯形法取的是泰勒级数的前两项，四阶龙格-库塔法取的是泰勒级数前三项。所以他们的截断误差是泰勒级数剩下的部分。

       数值积分法在控制领域主要应用于对状态空间的输出进行求解。下面是alertmanager源码我做过的一个matlab仿真

       已知开环传递函数

       5 s +

       -------------------------------------------

       s^4 +8 s^3 + . s^2 + . s

       给定单位阶跃，求解闭环函数的输出曲线。

       首先我们要把传递函数转换成状态方程。在

       主M文件：

       clear

       t=;h=0.1;

       num = [0 0 0 5 ];

       den = [1 8 . . 0];

       den = den + num;

       Tsys1 =tf(num,den);

       [A,B,C,D] =tf2ss(num,den);

       x0 = [0 0 0 0]';

       u = 1;

       i=0:h:t+h;

       Y0 = EEluer(h,t,A,B,C,D,x0,u);

       Y1 = SecondRunge(h,t,A,B,C,D,x0,u);

       Y2 = FourRunge(h,t,A,B,C,D,x0,u);

       plot(i,Y0,i,Y1,'-*',i,Y2,'g-');

       legend('euler','SecondRunge','FourRunge');

       四阶龙格库塔法M  function：

       function save=FourRunge(h,t,A,B,C,D,x0,u)

       count = 1;

       y0 =C * x0 + D * u;

       len = size(y0,1);

       wide=length(0:h:t);

       save=zeros(wide,len);

       save(count,len) = y0;

       for i=0:h:t

       k1 = h * My_function(A,B,x0,u) ;

       k2 = h * My_function(A,B,x0+0.5*k1,u);

       k3 = h * My_function(A,B,x0+0.5*k2,u);

       k4 = h * My_function(A,B,x0+k3,u);

       x1 = x0 + (1/6)*(k1 + 2*k2 +2*k3 +k4);

       y0 = C * x1 + D * u;

       count = count + 1;

       save(count,len) = y0;

       x0 = x1;     

       end

       end

       欧拉法 M function ：

       function save=EEluer(h,t,A,B,C,D,x0,u)

       count = 1;

       y0 =C * x0 + D * u;

       len = size(y0,1);

       wide=length(0:h:t);

       save=zeros(wide,len);

       save(count,len) = y0;

       for i=0:h:t

       x1 = h * My_function(A,B,x0,u) +x0;

       y0 = C * x1 + D * u;

       count = count + 1;

       save(count,len) = y0;

       x0 = x1;     

       end

       end

       梯形法  M function：

       function save=SecondRunge(h,t,A,B,C,D,x0,u)

       count = 1;

       y0 =C * x0 + D * u;

       len = size(y0,1);

       wide=length(0:h:t);

       save=zeros(wide,len);

       save(count,len) = y0;

       for i=0:h:t

       k1 = h * My_function(A,B,x0,u) ;

       k2 = h * My_function(A,B,x0+k1,u);

       x1 = x0 + (1/2)*(k1 + k2);

       y0 = C * x1 + D * u;

       count = count + 1;

       save(count,len) = y0;

       x0 = x1;     

       end

       end

       微分方程 M function

       function [ yy ] = My_function(A,B,x0,u)

       yy = A*x0 +  B*u;

       end

       实验结果

       图中振荡最大的是欧拉法，梯形法和四阶龙格库塔法精度差不多。四阶龙格库塔法精度最高。

请问这个积分在matlab里用数值积分的方法应该如何做？

       T_0=linspace(,,);

       %T_0=linspace(,,);

       Eg=1.-5.*(^(-4))*((T_0.^2)./(T_0+));

       %T_0=linspace(,,);

       Tc=repmat(T_0,,1);

       %Tc=repmat(T_0,1e4,1);

       E0=repmat(Eg,,1);

       %E0=repmat(Eg,1e4,1);

       k=1.*^(-);

       C0=linspace(1,,);

       %C0=linspace(1,,1e4);

       C=repmat(C0',1,);

       %C=repmat(C0',1,);

       hv=E0.*C;

       R_matrix=hv.^2./(exp(hv./k./T_0)-1);

       %R_matrix=hv.^2./(exp(hv./k./T)-1);

       R=sum(R_matrix)*./;

       R1=sum(sum(R_matrix)*./)

       plot(T_0,R);

数值积分是什么

       数值积分

       numerical integration

        求定积分的近似值的数值方法。即用被积函数的有限个抽样值的离散或加权平均近似值代替定积分的值。求某函数的定积分时，在多数情况下，被积函数的原函数很难用初等函数表达出来 ， 因此能够借助微积分学的牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的机会是不多的。另外，许多实际问题中的被积函数往往是列表函数或其他形式的非连续函数，对这类函数的定积分，也不能用不定积分方法求解。由于以上原因 ，数值积分的理论与方法一直是计算数学研究的基本课题。对微积分学作出杰出贡献的数学大师，如I.牛顿、L.欧拉、C.F.高斯等人也在数值积分这个领域作出了各自的贡献，并奠定了它的理论基础。

        构造数值积分公式最通常的方法是用积分区间上的 n 次插值多项式代替被积函数，由此导出的loex源码求积公式称为插值型求积公式 。 特别在节点分布等距的情形称为牛顿-柯茨公式，例如梯形公式与抛物线公式就是最基本的近似公式。但它们的精度较差。龙贝格算法是在区间逐次分半过程中，对梯形公式的近似值进行加权平均获得准确程度较高的积分近似值的一种方法，它具有公式简练、计算结果准确、使用方便 、稳定性好等优点，因此在等距情形宜采用龙贝格求积公式 。当用不等距节点进行计算时，常用高斯型求积公式计算，它在节点数目相同情况下，准确程度较高，稳定性好，而且还可以计算无穷积分。数值积分还是微分方程数值解法的重要依据。许多重要公式都可以用数值积分方程导出。

GSLC语言

       GNU Scientific Library (GSL) 是一个用于科学计算的 C 语言类库，它提供了超过个函数，广泛应用于数学计算的多个方面。以下是GSL支持的主要功能：

       1. 复数运算：GSL包含复数处理功能，支持复数的加减乘除等基本运算。

       2. 多项式求根：在数学中，多项式求根是一个重要任务，GSL提供了求解多项式根的函数。

       3. 特殊函数：GSL包含了一组用于科学计算的特殊函数，例如贝塞尔函数、伽马函数等。

       4. 向量与矩阵操作：对于向量与矩阵的运算，GSL提供了丰富的函数库，支持基本的加减乘除、转置、行列式计算等。

       5. 排序与BLAS支持：GSL包含了高效的排序算法，以及对基本线性代数子程序（BLAS）的支持，以优化高性能计算。

       6. 线性代数：GSL提供了线性代数相关的函数，包括矩阵分解、特征值与特征向量计算等。

       7. 快速傅立叶变换（FFT）：FFT是数字信号处理中的核心算法，GSL提供了高效的FFT实现。

       8. 积分与随机数生成：GSL可以进行数值积分，并且提供了多种随机数生成器，支持各种随机分布。

       9. 统计分析：GSL包含了基本的统计分析功能，例如计算平均值、标准差、相关系数等。

       . 历史图与N-元组：GSL可以构建历史图与N-元组，用于数据可视化和存储。

       . 蒙特卡洛积分与模拟退火：GSL提供了蒙特卡洛积分算法和模拟退火优化方法，用于解决复杂问题。

       . 微分方程求解：GSL可以解决常微分方程与偏微分方程，适用于物理、工程等领域。

       . 数值微分与逼近：GSL支持数值微分与Chebyshev逼近，用于函数的近似计算。

       . 级数加速与离散汉克尔变换：GSL提供了级数加速算法和离散汉克尔变换，用于数学分析。

       . 根找与最小化：GSL提供了根找与最小化算法，用于求解非线性方程与优化问题。

       . 物理常数与浮点运算：GSL包含物理常数库与IEEE浮点运算支持，方便科学计算。

       . 离散小波变换与基函数插值：GSL提供了离散小波变换与基函数插值功能，用于信号处理与图像分析。

       总结，GSL是一个功能强大的C语言类库，广泛应用于科学计算、数学分析、物理模拟、工程设计等领域，提供了丰富的数学工具和算法，为科学家、工程师提供了高效、可靠的计算支持。

扩展资料

       GSL有两层含义。一是指Game Stars League（游戏明星联赛），是一项覆盖全年、辐射全国乃至全球的顶级赛事，由深圳市盈佳世纪网络科技有限公司承办；二是指全球星际争霸2联赛（Global StarCraftⅡ League,简称GSL），GSL采用等级制度，让选手们进行善意的竞争，年末进行活动赛，决出真正的冠军。

数值计算-数值积分

       数值计算中的数值积分是将一个函数在特定区间上的定积分近似计算为求和形式的过程。积分定义为 \int_{ a}^{ b}f(x)dx=\lim_{ n\to\infty}\sum_{ i=1}^{ n}f(x_i)\Delta x，其中区间被划分成n份，\Delta x为每份的宽度，x_i为每份的点。根据选取的点不同，数值积分方法有所不同：

       - 左矩形公式（当\Delta x为每份宽度时）：\int_{ a}^{ b}f(x)dx\approx\sum_{ i=1}^{ n}f(x_{ i-1})\Delta x。

       - 右矩形公式（当\Delta x为每份宽度时）：\int_{ a}^{ b}f(x)dx\approx\sum_{ i=1}^{ n}f(x_{ i})\Delta x。

       - 梯形公式：\int_{ a}^{ b}f(x)dx\approx\frac{ \Delta x}{ 2}[f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+\cdots+2f(x_{ n-1})+f(x_n)]。

       整合上述方法，数值积分表达式可表示为：\int_{ a}^{ b}f(x)dx\approx\sum_{ i=1}^{ n}c_if(x_i)\Delta x，其中系数c_i需确定。

       代数精度定义为数值积分公式在一定次数的多项式上精确成立的程度，例如，若公式对所有n次多项式精确成立，但n+1次多项式不能精确成立，则称为m次代数精度。通常，通过选取特定的节点和系数，数值积分公式可以达到n次精度，与分割点数量成正比。

       插值法使用拉格朗日插值多项式来代替被积函数，具有n次精度，等价于插值型积分。牛顿-科特斯（Newton-Cotes）求积方法则等距划分区间，通过求解线性方程组确定系数，可以实现从梯形到辛普森等不同阶数的积分公式。牛顿-科特斯方法的系数与区间大小和函数值相关，计算复杂度较高。复合积分方法通过递归使用梯形或辛普森公式，减少计算量，保证精度。这种递归方式加速了收敛过程。

       外推算法通过构造更精确的积分序列加速收敛，龙贝格算法利用复合梯形公式和辛普森公式计算结果的差异，通过特定的迭代过程构造出更高精度的积分公式，实现从梯形到辛普森再到科特斯的加速。龙贝格积分公式具有特定的节点位置和系数规律，通过迭代计算可以得到高精度的积分结果。

       高斯求积法探索最优节点位置以提高积分精度。通过定理分析，高斯点的充要条件是勒让德多项式的零点，进而通过计算勒让德多项式得到节点位置。高斯-勒让德积分方法采用正数系数和节点位置进行积分计算，不仅精度高，而且数值稳定，避免了舍入误差的累积。高斯积分的稳定性和收敛性主要由其系数全为正数保证，舍入误差在可控制范围内。

       数值积分方法的多样性与准确性使得其在实际应用中具有广泛的重要性，从简单的矩形和梯形方法到高斯求积方法，每种方法都有其适用场景与优势，选择合适的数值积分方法能够高效准确地解决实际问题。